makalah bilangan bulat

A.      Pengenalan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, bilangan bulat positif. Bilangan yang berjarak 2 satuan disebelah kanan 0 adalah + 2 (dibaca positif dua), sedangkan yang berjarak 3 satuan disebelah kiri 0 adalah bilangan – 3 (dibaca negatif tiga). Demikian pula yang berjarak 5 satuan disebelah kanan 0 adalah bilangan + 5 (dibaca positif lima), sedangkan yang berjarak 5 satuan disebelah kiri 0 adalah bilangan – 5 (dibaca negatif lima).

 

-5         -4         -3         -2         -1         0          1          2          3          4          5

Himpunan bilangan bulat disimbolkan dengan huruf Z, contohnya adalah

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

Bilangan disebelah kanan 0 disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan disebelah kiri 0 disebut bilangan bulat negatif. Jadi, bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, 0, dan bilangan bulat negatif.[1]

            Dengan menggunakan relasi >, bilangan bulat a dikatakan positif jika

 a > 0

dan dikatakan negatif jika

a < 0

            Misalkan a bilangan bulat. Jika a ≥ 0, maka a dikatakan tak negative, dan jika a ≤ 0, maka a  dikatakan tak positif. Himpunan bilangan bulat positif, ditulis Z ; adalah

Z = { 1, 2, 3, 4, 5, …}

yang tidak lain adalah himpunan bilangan asli N. himpunan bilangan bulat negative, ditulis Z ; adalah

Z = { -1, -2, -3, -4, -5 …}

B.       Membaca dan Menulis Lambang Bilangan Bulat

Setelah mengenal bilangan bulat positif maupun bilangan bulat negative cara membaca dan menuliskan bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan bulat positif dibaca dengan cara mengawali dengan kata positif di depan bilangan. Contoh 10 dibaca positif sepuluh, sedangkan untuk bilangan negatif cara membacanya diawali dengan kata negatif di depan bilangan, contoh -10 dibaca negative sepuluh.[2]

C.       Penjumlahan Bilangan Bulat

Penjumlahan diartikan sebagai menambah kartu. Langkah-langkah pengerjaan operasi penjumlahan sebagai berikut:

1.      Definisikan bilangan pertama menggunakan kartu-kartu

2.      Tambahkan kartu sebagai dengan bilangan yang kedua

3.      Susunan terakhir menunjukkan bilangan hasil penjumlahan

Contoh:

a.       2 + 3 = ....

1)      Definisikan bilangan pertama (2), dengan dua kartu bermuatan positif.

 

 

2)      Tambahkan 3 kartu bermuatan positif pada bagian atas sehingga terbentuk susunan baru

 

3)      Hasilnya 5 kartu bermuatan positif, artinya 2 + 3 = 5

 

b.      – 2 + (-3) = ....

1)      Definisikan bilangan pertama (2), dengan dua kartu ermuatan negatif

 

2)      Tambahkan 3 kartu bermuatan negative pada bagian atas sehingga terbentuk susunan baru

 

3)      Hasilnya adalah 5 kartu bermuatan negative. Sehingga – 2 + (- 3) = ....

 

                                                                                                                

Jadi untuk a dan b bilangan bulat positif berlaku:

1.  Bilangan positif ditambah bilangan positif hasilnya bilangan positif.

2.  Bilangan positif ditambah bilangan negatif hasilnya bilangan negatif jika a < b.

3.  Bilangan positif ditambah bilangan negatif hasilnya adalah bilangan positif jika a > b.

4.    Bilangan negatif ditambah bilangan negatif hasilnya adalah bilangan negatif.

D.      Pengurangan Bilangan Bulat

Langkah-langkah pengerjaan operasi pengurangan sebagai berikut:

1.     Definisikan bilangan pertama menggunakan kartu-kartu.

2.    Ambil kartu sesuai dengan bilangan yang kedua.

3.    Susunan terakhir menunjukkan bilangan hasil pengurangan

Contoh :

a.   3 -  2 = …

1)   Definisikan  bilangan pertama 3 yang dapat dimodelkan dengan tiga kartu bermuatan positif.

 

2)   Ambil 2 kartu bermuatan positif, sehingga tersisa 1 kartu bermuatan positif. Diambil 2 kartu bermuatan positif.

 

3)   Hasilnya tersisa 1 kartu bermuatan positif. Sehingga 3 – 2 = 1

 

b.  -3 – (-4) = …

1)      Definisikan bilangan pertama -3 yang dapat dimodelkan dengan tiga kartu bermuatan negatif.

 

2)      Selanjutnya ambil 4 kartu bermuatan negatif.

3)      Hasilnya tersisa 1 kartu bermuatan positif. Sehingga -3 – (-4) = 1

 

E.   Perkalian Bilangan Bulat

           Perkalian bilangan bulat dapat dijelaskan menggunakan pola dapat dijelaskan sebagai berikut :

1.         Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif menggunakan penjumlahan berulang.

 Contoh : 4 X 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

2.         Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif menggunakan penjumlahan berulang.

   Contoh : 4 X -6= (-6) + (-6) + (-6) +  (-6) = -24

3.         Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif menggunakan pola.

Contoh :  untuk menjelaskan (-2) X (3) menggunakan pola sebagai berikut :

        Mengalikan bilangan bulat positif (misalnya dipilih 2) dengan 3 kemudian bilangan yang depan diturunkan satu. Hasilnya dicari dengan melihat pola, selalu turun 3 sehingga diperoleh hasl perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif.

 2 X 3 = 6

 1 X 3 = 3

 0 X 3 = 0

-1 X 3 = -3

-2 X 3 = -6

F.           Pembagian Bilangan Bulat

Pada dasarnya operasi pembagian adalah mencari factor bilangan yang belum diketahui. Sehingga operasi pembagian didefinisikan sebagai lawan operasi perkalian. Dengan demikian operasi pembagian menggunakan operasi perkalian a : b = c berarti b x c = a.

Pembagian bilangan bulat dapat diselesaikan sebagai mana pembagian bilangan cacah. Adanya bilangan positif, dan bilangan negative memungkinkan adanya beberapa jenis bentuk pembagian pada bilangan bulat. Terdapat empat jenis bentuk pembagian bilangan bula, yaitu:

1.     Pembagian bilangan positif oleh bilangan positif

Pembagian bilangan positif oleh bilangan positif menghasilkan bilangan positif.

Contoh: 10 : 5 = 2

2.    Pembagian bilangan positif oleh bilangan negative.

         Pembagian bilangan positif oleh bilangan negative menghasilkan bilangan negative.

Contoh: 10 : (-5) = -2

3.            Pembagian bilangan negative oleh bilangan positif.

         Pembagian bilangan negative oleh bilangan poditif menghasilkan bilangan negative.

Contoh: -10 : 5 = -2

4.            Pembagian bilangan negative dengan bilangan negative.

         Pembagian bilangan negative oleh bilangan negative menghasilkan bilangan positif.

Contoh: -10 : (-5) = 2 [3]

---

[1]  Abdussakir, Kajian Integratif Matematika & Al-Qur’an ,(Malang: UIN Malang Press, 2009), hal.101

[2] Burhan Mustaqim, Ary Astuty, Ayo Belajar Matematika. (Jakarta:Pusat Perbukuan,2008), hal 137

[3] Musrikah, Matematika untuk Guru MI/SD. (Tulungagung:IAIN Tulungagung Press), hal 50